イコールアース図法を、数字で説明する。

面積を保ちながら、地図の顔をしている。

イコールアース図法は、地球全体を写す擬円筒の正積図法です。正積とは、地図上のどの二つの地域も、面積の比が地球上の比と同じであることです。地上でアフリカがグリーンランドの14倍なら、紙の上でも14倍です。擬円筒とは、緯線が水平な直線で経線がゆるやかな曲線だということで、だから図表ではなく見慣れた世界地図として読めます。

発表したのは2018年、Esri の Bojan Šavrič、アメリカ国立公園局の Tom Patterson、モナシュ大学の Bernhard Jenny の三人で、掲載誌は International Journal of Geographical Information Science です。彼ら自身の言葉で目的は、ロビンソン図法の見た目の良さを持ちながら厳密に正積であること。正積図法はそれ以前からありましたが、広く好まれたものはありませんでした。

発表から数か月で、ほぼすべての地図ソフトが座標変換に使うオープンソースのライブラリ PROJ に採用され、そこから QGIS、GDAL、ArcGIS、D3、Python の Cartopy へ広がりました。座標参照系は三つ登録されています。グリニッジ中心の EPSG:8857、南北アメリカ中心の EPSG:8858、アジア太平洋中心の EPSG:8859 です。

国連は何を決めたのか。

国連総会は、世界地図にメルカトルに代えてイコールアース図法を推奨する決議を採択しました。賛成は日本を含む164か国。反対は1か国、アメリカ合衆国。棄権は6か国。決議はトーゴが提出し、アフリカ連合が後押しした Correct The Map 運動から生まれました。運動は、教室のメルカトル地図が百年にわたってアフリカを実際より小さく見せてきたと主張していました。ロイター通信によれば、アメリカはこの決議を思想的なものと呼び、国際平和に資さないと述べました。

総会の決議は勧告です。どの出版社にも学校にも地図を変える義務はありません。変わるのは既定値です。メルカトルの世界地図はこれから、ずっとそうしてきたやり方ではなく、説明を求められる選択になります。

船のために作られ、面積を 1/cos²φ 倍に膨らませる。

ゲラルドゥス・メルカトルは1569年、羅針盤の方位を一定に保つ線が直線になるように地図を描きました。その一つの性質が四百年のあいだ航海士の海図であり続けた理由で、今日のウェブ地図のタイルがすべてウェブメルカトルを使う理由でもあります。街まで寄れば形は正しく北は上です。問題が始まるのは、同じ図法で世界全体を一度に見せるときだけです。

方位を直線に保つ数学は、緯度 φ で地図を縦横に 1/cos φ 倍ずつ引き伸ばすので、面積は 1/cos²φ 倍になります。表は緯度ごとの倍率です。実際の国の輪郭で積分すると、メルカトルは日本を相対的に約1.6倍、英国を2.9倍、カナダを5.2倍、ノルウェーを9.4倍、グリーンランドを16.5倍の面積で描き、赤道の上にあるアフリカは1.1倍です。グリーンランドは215万km²、アフリカは3,000万km²。メルカトルの上では同じ大きさに見えます。

日本は北緯35度前後、北海道は43度前後で倍率は1.9倍です。極は描けず、ウェブ地図は85.05度で止まります。

ガル・ピーターズ、モルワイデ、ロビンソン、ヴィンケル第3。

正積図法は新しいものではありません。ランベルトが1772年に、モルワイデが1805年に、ガルが1855年に記述しています。1973年にアルノ・ペーターズがガルの図法をヨーロッパ中心の世界地図を正すものとして掲げ、ガル・ピーターズ図法は有名になり、そして縦に間延びした大陸のために嫌われました。1989年には北米の地理学関係7団体が、矩形の世界地図そのものを使うべきでないと決議しています。

その隙間を埋めたのが妥協図法でした。1963年のロビンソン図法はナショナル・ジオグラフィック協会が1988年から使い、1998年にヴィンケル第3図法に置き換えました。自然に見えます。正積ではありません。ロビンソン図法でもグリーンランドは実際の相対的な大きさの2倍ほどに描かれます。イコールアースは、厳密に正積で、かつ多くの人の目にロビンソンと同じくらい心地よい、最初の図法です。動かせる地図では、これらすべてを切り替えて、同じ国の輪郭が変わるのを見られます。

係数は四つ。検算は自分でできる。

経度 λ と緯度 φ をラジアンで取り、補助緯度を sin θ = (√3 / 2) sin φ で定めます。すると y = A₁θ + A₂θ³ + A₃θ⁷ + A₄θ⁹、x = (2√3 / 3) λ cos θ を y の導関数で割ったもの。係数は A₁ = 1.340264、A₂ = −0.081106、A₃ = 0.000893、A₄ = 0.003796 です。x を y の導関数で割ることが面積を厳密にする仕掛けで、地図が縦に詰まる場所では同じ倍率で横に伸びます。逆変換はニュートン法で解きます。図法の全部がこれで、コードにして二十行に収まります。

正積であることを信じてくださいとは言いません。このサイトはビルドのたびに、図法の面積倍率を720×720の格子で全球にわたって積分しています。結果は 12.56638058、4π = 12.56637061 に対して相対差 7.9 × 10⁻⁷ で、これは格子の刻みであってそれ以外ではありません。地図の頁には同じ積分をブラウザの中で走らせる「正積を検算する」ボタンがあり、メルカトルで走らせて外れるところも見られます。導出の全文と歴史、実務の手順は 地図投影法の教科書 にあります。

図法の絵ではなく、図法を測る道具。

• 同じ輪郭で七つの図法。イコールアース、メルカトル、等緯度経度、モルワイデ、ガル・ピーターズ、ロビンソン、ヴィンケル第3。左右に並べて比べられます。
• ドラッグで地球を経度にも緯度にも回し、ホイールで拡大。EPSG:8857、8858、8859 と日本中心の設定をボタンで。
• 国をクリックすると、Natural Earth 1:50m の輪郭を球面で積分した面積と、メルカトルが何倍に描いているかが出ます。二つ目の国をクリックすると、実際の比とメルカトルでの比が並びます。
• ティソーの指示楕円、いまこの分の昼夜の境、メルカトルの誇張率の色分け、そして KUON GEO が10分ごとに巡回している約2,400の公開RTK基準局。
• PNG は2倍と4倍、SVG は国ごとに名前の付いたベクターのパスで書き出せます。同じ表示を再現するリンクも複製できます。
• 正積かどうかをブラウザの中で数値で検算できます。地図は 1:110m の原本から描き、原本が支えられる以上には寄れません。

QGIS、PROJ、Python でイコールアースを使う。

QGIS では、プロジェクト、プロパティ、座標参照系と進み、8857 と打って WGS 84 / Equal Earth Greenwich を選びます。レイヤはその場で投影し直されます。コマンドラインの PROJ 文字列は +proj=eqearth +lon_0=0 +datum=WGS84 +units=m、ラスタの投影し直しは gdalwarp -t_srs EPSG:8857 です。Python では pyproj の Transformer.from_crs("EPSG:4326", "EPSG:8857", always_xy=True) が同じことをします。D3 には d3.geoEqualEarth() が組み込まれています。

すべての正積図法に当てはまる注意を一つ。その上で距離を測らないでください。測量と測位には UTM や、日本なら 座標と高さ で説明している平面直角座標系のような正角の局所系を使います。

すべての国

台帳にある177か国それぞれに同じ頁があります。7言語で。