La projection Equal Earth,expliquée avec des nombres.

Une carte équivalente qui ressemble encore à une carte.

Equal Earth est une projection pseudo-cylindrique et équivalente de la Terre entière. Équivalente signifie que deux régions quelconques de la carte ont le même rapport de surfaces que sur le globe : si l'Afrique vaut quatorze Groenlands sur le terrain, elle en vaut quatorze sur le papier. Pseudo-cylindrique signifie que les parallèles sont des droites horizontales et les méridiens des courbes douces, ce qui fait qu'elle se lit comme une carte du monde familière et non comme un schéma.

Elle a été publiée en 2018 par Bojan Šavrič d'Esri, Tom Patterson du National Park Service des États-Unis et Bernhard Jenny de l'université Monash, dans l'International Journal of Geographical Information Science. Leur but, selon leurs propres mots, était une projection ayant l'attrait visuel de Robinson tout en étant strictement équivalente. Des cartes équivalentes existaient déjà ; aucune n'avait été largement appréciée.

En quelques mois elle a été ajoutée à PROJ, la bibliothèque libre que presque tous les logiciels de cartographie utilisent pour les transformations de coordonnées, puis à QGIS, GDAL, ArcGIS, D3 et Cartopy pour Python. Elle a trois systèmes de référence enregistrés : EPSG:8857 centré sur Greenwich, EPSG:8858 centré sur les Amériques, EPSG:8859 centré sur l'Asie-Pacifique.

Ce que les Nations unies ont décidé.

L'Assemblée générale a adopté une résolution recommandant Equal Earth pour les cartes du monde à la place de Mercator. 164 États membres ont voté pour, dont le Japon. Un a voté contre : les États-Unis. Six se sont abstenus. La résolution a été présentée par le Togo et est née de la campagne Correct The Map, soutenue par l'Union africaine, qui soutenait que la carte scolaire en Mercator avait fait paraître l'Afrique plus petite qu'elle n'est pendant cent ans. Selon Reuters, les États-Unis ont qualifié la résolution d'idéologique et déclaré qu'elle ne servait pas la paix internationale.

Une résolution de l'Assemblée générale est une recommandation. Elle n'oblige aucun éditeur ni aucune école à changer de carte. Ce qu'elle change, c'est la valeur par défaut : une carte du monde en Mercator est désormais un choix à défendre, et non plus la façon dont on a toujours fait.

Conçu pour les navires, il gonfle les surfaces de 1/cos²φ.

Gerardus Mercator a dessiné sa carte en 1569 pour qu'un cap constant au compas soit une droite. Cette seule propriété en a fait la carte des navigateurs pendant quatre siècles, et c'est pourquoi toutes les tuiles de cartes web utilisent aujourd'hui le Web Mercator : quand on zoome sur une rue, les formes sont justes et le nord est en haut. Le problème ne commence que lorsque la même projection sert à montrer le monde entier d'un coup.

Les mathématiques qui gardent les caps droits étirent la carte de 1/cos φ dans les deux directions à la latitude φ, si bien que la surface croît de 1/cos²φ. Le tableau donne le facteur par latitude. En intégrant sur les contours réels, Mercator dessine le Japon à environ 1,6 fois sa surface relative réelle, le Royaume-Uni à 2,9, le Canada à 5,2, la Norvège à 9,4 et le Groenland à 16,5, tandis que l'Afrique, sur l'équateur, ressort à 1,1. Le Groenland fait 2,15 millions de km². L'Afrique, 30 millions. En Mercator ils paraissent égaux.

Le Japon se situe vers 35° N ; Hokkaido vers 43° N, où le facteur vaut 1,9. Les pôles ne peuvent pas être dessinés ; les cartes web s'arrêtent à 85,05°.

Gall-Peters, Mollweide, Robinson, Winkel-Tripel.

Les cartes équivalentes ne sont pas nouvelles. Lambert en a décrit une en 1772, Mollweide en 1805, Gall en 1855. En 1973, Arno Peters a promu la projection de Gall comme correctif de la carte du monde eurocentrée, et la carte de Gall-Peters est devenue célèbre, et détestée, pour ses continents hauts et étirés. En 1989, sept organisations géographiques nord-américaines ont décidé que les cartes du monde rectangulaires ne devaient plus être utilisées du tout.

Les projections de compromis ont comblé le vide : Robinson, de 1963, utilisée par la National Geographic Society à partir de 1988, et Winkel-Tripel, qui l'a remplacée en 1998. Elles paraissent naturelles. Elles ne sont pas équivalentes. Robinson dessine encore le Groenland à environ deux fois sa taille relative réelle. Equal Earth est la première projection à la fois strictement équivalente et, pour la plupart des yeux, aussi agréable que Robinson. La carte interactive permet de passer de l'une à l'autre et de voir les mêmes contours changer.

Quatre coefficients, et une vérification que vous pouvez lancer vous-même.

Avec la longitude λ et la latitude φ en radians, on définit une latitude auxiliaire par sin θ = (√3 / 2) sin φ. Alors y = A₁θ + A₂θ³ + A₃θ⁷ + A₄θ⁹ et x = (2√3 / 3) λ cos θ divisé par la dérivée de y, avec A₁ = 1,340264, A₂ = −0,081106, A₃ = 0,000893 et A₄ = 0,003796. Diviser x par la dérivée de y est ce qui rend la surface exacte : là où la carte est comprimée verticalement, elle est étirée horizontalement du même facteur. L'inverse se résout par la méthode de Newton. C'est toute la projection, et elle tient en vingt lignes de code.

Nous ne vous demandons pas de croire l'équivalence sur parole. Ce site intègre le facteur de surface de la projection sur le globe entier, sur une grille de 720 par 720, à chaque construction : le résultat est 12,56638058 contre 4π = 12,56637061, soit un écart relatif de 7,9 × 10⁻⁷, qui est la grille et rien d'autre. La page de la carte a un bouton Vérifier qui lance la même intégrale dans votre navigateur, et vous pouvez la lancer sur Mercator pour la voir échouer. La dérivation complète, avec l'histoire et les étapes pratiques, est dans les projections cartographiques, expliquées.

Pas l'image d'une projection. Un outil pour la mesurer.

• Sept projections sur les mêmes contours : Equal Earth, Mercator, plate carrée, Mollweide, Gall-Peters, Robinson et Winkel-Tripel, avec comparaison côte à côte.
• Faites tourner le globe en glissant, en longitude et en latitude, et zoomez à la molette. Préréglages pour EPSG:8857, 8858, 8859 et une vue centrée sur le Japon.
• Cliquez sur un pays : sa superficie d'après le contour Natural Earth 1:50m intégré sur la sphère, et combien de fois plus grand Mercator le dessine. Cliquez sur un second pays et lisez le rapport réel à côté du rapport en Mercator.
• Indicatrices de Tissot, la ligne jour-nuit calculée pour la minute en cours, une échelle de couleur de l'exagération de Mercator et les 2 400 bases RTK publiques que KUON GEO interroge toutes les dix minutes.
• Exportez en PNG à 2× ou 4× ou en SVG avec chaque pays en chemin vectoriel nommé, et un lien qui reproduit la vue exacte.
• Vérifiez l'équivalence numériquement dans le navigateur. La carte est dessinée d'après une source au 1:110m et ne zoome pas au-delà de ce que la source permet.

Utiliser Equal Earth dans QGIS, PROJ et Python.

Dans QGIS, ouvrez Projet, Propriétés, SCR, tapez 8857 et choisissez WGS 84 / Equal Earth Greenwich ; les couches sont reprojetées à la volée. En ligne de commande, la chaîne PROJ est +proj=eqearth +lon_0=0 +datum=WGS84 +units=m, et un raster se reprojette par gdalwarp -t_srs EPSG:8857. En Python, Transformer.from_crs("EPSG:4326", "EPSG:8857", always_xy=True) de pyproj fait la même chose. D3 intègre d3.geoEqualEarth().

Un avertissement qui vaut pour toute carte équivalente : n'y mesurez pas de distances. Pour la topographie et le positionnement, utilisez un système local conforme comme l'UTM, le Lambert-93 en France, ou au Japon le système de coordonnées rectangulaires planes expliqué dans coordonnées et altitude.

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