Kartenprojektionen, erklärt

Ein Globus lässt sich nicht flach drücken, ohne ihn zu zerreißen oder zu dehnen. Das ist ein Satz, keine Meinung. Jede Weltkarte ist deshalb eine Entscheidung darüber, was wahr bleiben soll und was man aufgibt. Diese Seite erklärt die drei Arten zu entscheiden, warum Mercator Grönland so groß wie Afrika macht, und wie die Equal-Earth-Projektion von 2018 die Fläche exakt bewahrt und dennoch wie eine Karte aussieht. Die interaktive Fassung ist KUON EQUAL EARTH.

Warum eine flache Karte irgendwo lügen muss

Carl Friedrich Gauß bewies 1827, dass eine gekrümmte Fläche wie die Kugel nicht unter Erhaltung aller Abstände in die Ebene abgebildet werden kann. Das ist das Theorema Egregium. Schälen Sie eine Orange und drücken Sie die Schale flach: sie reißt oder sie dehnt sich. Eine Kartenprojektion ist eine Regel für das Dehnen, und die Regel entscheidet, was überlebt.

Drei Dinge konkurrieren. Winkel, damit Formen örtlich stimmen. Flächen, damit die Größe einer Region stimmt. Abstände oder Richtungen, zumindest von einem Punkt aus oder entlang einer Linie. Keine Projektion der ganzen Erde bewahrt alle drei. Die meisten bewahren eines und opfern die anderen, oder sie bewahren keines exakt und verteilen den Schaden.

Drei Arten zu wählen

Eine winkeltreue Projektion bewahrt Winkel. Kleine Formen stimmen, Meridiane und Breitenkreise schneiden sich rechtwinklig, und ein Kompasskurs ist eine Gerade. Mercator ist die berühmte. Der Preis ist die Fläche: sie wächst zu den Polen hin ohne Grenze.

Eine flächentreue Projektion bewahrt Flächen. Zwei beliebige Regionen auf der Karte haben dasselbe Flächenverhältnis wie auf der Erde. Der Preis ist die Form: Kontinente werden geschert oder gestaucht, zu den Rändern hin stärker. Lamberts Zylinderprojektion von 1772, Mollweide von 1805, Gall-Peters und Equal Earth sind alle flächentreu.

Eine vermittelnde Projektion bewahrt keines exakt und versucht, richtig auszusehen. Robinson von 1963 und Winkel-Tripel von 1921 hängen in den meisten Klassenzimmern. Sie sind angenehm, und sie sind nicht flächentreu: Robinson zeichnet Grönland noch immer etwa doppelt so groß wie sein wahres Verhältnis.

Eine vierte Art verdient einen Namen: die azimutalen Projektionen, die in Richtung oder Abstand von einem Mittelpunkt aus stimmen. Sie sind das richtige Werkzeug für die Pole, und deshalb verwendet KUON POLAR eine polare stereografische Projektion statt Mercator.

Wofür Mercator gebaut wurde

Gerhard Mercator veröffentlichte seine Weltkarte 1569 für die Navigation. Auf ihr ist eine Linie gleichbleibenden Kompasskurses, eine Loxodrome, gerade. Der Navigator zieht eine Gerade von Hafen zu Hafen, liest den Winkel ab und hält diesen Kurs. Keine andere Projektion leistet das, und vier Jahrhunderte lang war das der Grund, warum es Mercator gab.

Die Mathematik, die Kurse gerade macht, ist dieselbe, die Flächen aufbläht. Auf der Breite φ dehnt Mercator Abstände in beiden Richtungen um den Faktor 1/cos φ, die Fläche wächst also um 1/cos²φ. Am Äquator ist der Faktor 1. Bei 30° ist er 1,33. Bei 45° ist er 2. Bei 60° ist er 4. Bei 70° ist er 8,5. Bei 80° ist er 33. Die Pole lassen sich gar nicht zeichnen, weshalb Webkarten bei 85,05° aufhören und die Welt zum Quadrat wird.

Auf Länder angewandt ist der Effekt größer, als die meisten erwarten. Über die tatsächlichen Umrisse integriert zeichnet Mercator Japan mit etwa dem 1,6-Fachen seiner wahren relativen Fläche, Deutschland mit dem 2,6-Fachen, das Vereinigte Königreich mit 2,9, Kanada mit 5,2, Norwegen mit 9,4 und Grönland mit 16,5. Afrika, das den Äquator überspannt, kommt auf 1,1. So sieht Grönland mit 2,15 Millionen km² so groß aus wie Afrika mit 30 Millionen. Das wahre Verhältnis ist 1 zu 14.

Nichts davon macht Mercator falsch. Es macht ihn zur Seekarte. Jede Webkarten-Kachel seit 2005 verwendet Web Mercator, EPSG:3857, weil eine winkeltreue Projektion Norden oben und Formen richtig hält, wenn man in eine Stadt hineinzoomt, und dafür ist ein Stadtplan da. Das Problem beginnt erst, wenn dieselbe Projektion die ganze Welt auf einmal zeigt und Leser die Größen wörtlich nehmen.

Flächentreue Karten vor Equal Earth

Johann Heinrich Lambert beschrieb 1772 die flächentreue Zylinderprojektion. Sie ist exakt in der Fläche und brutal in der Form: die Tropen werden hochgezogen, die hohen Breiten plattgedrückt. Karl Mollweides Ellipse von 1805 ist flächentreu und runder und wird bis heute für Himmelsdurchmusterungen und globale Klimakarten verwendet.

James Gall schlug 1855 eine Variante der flächentreuen Zylinderprojektion vor. 1973 stellte Arno Peters im Wesentlichen dieselbe Projektion als Korrektur der eurozentrischen Weltkarte vor, und sie ging als Gall-Peters-Projektion in die Politik ein. Das Argument zur relativen Größe war stichhaltig; die Karte selbst wurde wegen ihrer gestreckten Kontinente weithin abgelehnt, und 1989 verabschiedeten sieben nordamerikanische geografische Organisationen eine Resolution, die Verlage aufforderte, rechteckige Weltkarten ganz aufzugeben.

Für die folgenden drei Jahrzehnte war die praktische Antwort eine vermittelnde Projektion. Rand McNally gab 1963 die Projektion von Arthur H. Robinson in Auftrag; die National Geographic Society verwendete sie ab 1988 und wechselte 1998 zu Winkel-Tripel. Sie sehen natürlich aus. Sie sind nicht flächentreu, und die Lücke zwischen einer ehrlich aussehenden und einer ehrlichen Karte blieb offen.

Equal Earth: die Formel und was sie bewahrt

2018 veröffentlichten Bojan Šavrič von Esri, Tom Patterson, damals beim US National Park Service, und Bernhard Jenny von der Monash University die Equal-Earth-Projektion im International Journal of Geographical Information Science (Band 33, Nummer 3, Seiten 454 bis 465, doi 10.1080/13658816.2018.1504949). Ihr erklärtes Ziel war eine Projektion mit der visuellen Anmutung von Robinson, die streng flächentreu ist. Sie gingen von der Putniņš-P4′-Projektion von 1934 aus und formten deren Umriss mit einem Polynom neu.

Die Projektion ist pseudozylindrisch: Breitenkreise sind waagerechte Geraden, der Mittelmeridian ist gerade, die übrigen Meridiane sind Kurven. Mit der Länge λ und der Breite φ im Bogenmaß wird eine Hilfsbreite θ durch sin θ = (√3 / 2) · sin φ definiert. Dann ist y = A₁θ + A₂θ³ + A₃θ⁷ + A₄θ⁹ und x = (2√3 / 3) · λ · cos θ / (A₁ + 3A₂θ² + 7A₃θ⁶ + 9A₄θ⁸), mit A₁ = 1,340264, A₂ = −0,081106, A₃ = 0,000893, A₄ = 0,003796. Der Nenner von x ist die Ableitung von y nach θ. Das ist der ganze Kniff: wo die Breitenkreise senkrecht zusammengedrückt werden, werden die Meridiane waagerecht um genau denselben Faktor auseinandergezogen, und die Fläche bleibt überall erhalten.

Die Umkehrung ist nicht geschlossen darstellbar. Bei gegebenem y löst man das Polynom neunten Grades mit dem Newton-Verfahren nach θ (es konvergiert in wenigen Schritten) und gewinnt φ und λ zurück. Mehr braucht eine Implementierung nicht, und deshalb nahm PROJ +proj=eqearth in Version 5.2 wenige Monate nach der Veröffentlichung auf; GDAL, QGIS, D3, Cartopy und ArcGIS folgten.

Einige Eigenschaften folgen aus den Koeffizienten. Die Pole sind keine Punkte, sondern Linien, 59,2 Prozent so lang wie der Äquator. Die ganze Karte ist 2,05-mal so breit wie hoch. Die Flächentreue prüfen wir bei jedem Build dieser Seite numerisch: die Integration des Flächenmaßstabs über den Globus auf einem Raster von 720 mal 720 ergibt 12,56638058 gegenüber 4π = 12,56637061, eine relative Abweichung von 7,9 × 10⁻⁷, was der Diskretisierungsfehler ist und nichts weiter. Dieselbe Integration können Sie auf der Kartenseite mit der Schaltfläche Prüfen im Browser laufen lassen, und für Mercator, um sie scheitern zu sehen.

Was Equal Earth aufgibt, ist die Form an den Rändern: die hohen Breiten werden gestaucht, die äußeren Kontinente neigen sich. Abstände und Kurse bleiben nicht erhalten. Es ist eine Karte, um die Welt als Ganzes zu sehen, nicht um ein Schiff zu steuern oder ein Grundstück zu vermessen.

Tissotsche Indikatrix: die Verzerrung sehen

Nicolas Auguste Tissot zeigte 1859, dass ein unendlich kleiner Kreis auf der Kugel auf jeder Karte zur Ellipse wird. Zeichnet man diese Ellipsen in regelmäßigen Abständen, erklärt sich die Projektion selbst. Auf einer winkeltreuen Karte sind alle Kreise verschiedener Größe. Auf einer flächentreuen haben alle dieselbe Fläche und verschiedene Form. Auf einer vermittelnden ändert sich beides. Die Kartenseite zeichnet sie als Kreise mit 2,5 Grad Radius; wechseln Sie die Projektion und sehen Sie, was sich ändert.

Equal Earth in der Praxis

Drei Koordinatenreferenzsysteme sind dafür registriert, die sich nur im Mittelmeridian unterscheiden. EPSG:8857, WGS 84 / Equal Earth Greenwich, ist auf 0° zentriert. EPSG:8858, Equal Earth Americas, auf 90° West. EPSG:8859, Equal Earth Asia-Pacific, auf 150° Ost. Die Einheit ist Meter. Die pazifikzentrierte Schulkarte entspricht einem Mittelmeridian nahe 135° oder 150° Ost, den die Kartenseite als Voreinstellung anbietet.

In QGIS (PROJ 5.2 oder neuer): Projekt, Eigenschaften, KBS, im Filter 8857 eingeben und WGS 84 / Equal Earth Greenwich wählen. Vektor- und Rasterebenen werden im Flug umprojiziert. Für eine asienzentrierte Karte 8859 wählen.

Mit PROJ auf der Kommandozeile lautet die Definition +proj=eqearth +lon_0=0 +datum=WGS84 +units=m. Mit GDAL projiziert man ein Raster mit gdalwarp -t_srs EPSG:8857 in.tif out.tif um und eine Vektordatei mit ogr2ogr -t_srs EPSG:8857 out.gpkg in.gpkg.

In Python mit pyproj: Transformer.from_crs("EPSG:4326", "EPSG:8857", always_xy=True).transform(lon, lat). Mit Cartopy ax = plt.axes(projection=ccrs.EqualEarth()). In D3 ist d3.geoEqualEarth() eingebaut; diese Seite verwendet eine eigene Implementierung der Rohformel, eingehängt in d3.geoProjection, sodass der Code der Kartenseite die obige Formel ist.

Eine Warnung, die für jede flächentreue Karte gilt: Messen Sie darauf keine Abstände. Ein Kilometergitter auf Equal Earth ist überall falsch außer entlang des Mittelmeridians. Für Vermessung und Positionierung verwenden Sie ein winkeltreues lokales System wie UTM oder in Japan das ebene rechtwinklige Koordinatensystem, das in Koordinaten und Höhe beschrieben ist.

Welche Projektion für welche Aufgabe

Für eine Seekarte oder einen Stadtplan, in den man hineinzoomt, eine winkeltreue Projektion: Mercator, oder Web Mercator für Kacheln. Für eine thematische Weltkarte, eine Choroplethenkarte, eine Dichtekarte, alles, bei dem der Leser Regionen der Größe nach vergleicht, eine flächentreue Projektion, und Equal Earth ist die, die sich wie eine Karte liest. Für eine Wandkarte oder ein Schulbuch Equal Earth oder eine vermittelnde Projektion, mit der Wahl auf der Karte vermerkt. Für Arktis und Antarktis eine auf den Pol zentrierte azimutale Projektion. Zum Messen ein lokales winkeltreues System in Metern.

Die ehrliche Gewohnheit ist, den Namen der Projektion auf die Karte zu drucken. Ein Leser, der weiß, welche Regel angewandt wurde, kann sie im Kopf zurücknehmen. Einer, der es nicht weiß, ist der Regel ausgeliefert.

Die Resolution vom 4. September 2026

Am 4. September 2026 nahm die Generalversammlung der Vereinten Nationen eine Resolution an, die für Weltkarten die Equal-Earth-Projektion anstelle von Mercator empfiehlt. 164 Mitgliedstaaten stimmten dafür, darunter Japan. Die Vereinigten Staaten stimmten dagegen. Sechs enthielten sich. Die Resolution wurde von Togo eingebracht und ging aus der von der Afrikanischen Union unterstützten Kampagne Correct The Map hervor, die argumentierte, ein Jahrhundert Mercator-Schulkarten habe Afrika in den Köpfen schrumpfen lassen. Laut Reuters bezeichneten die Vereinigten Staaten die Resolution als ideologisch und erklärten, sie diene nicht dem internationalen Frieden.

Eine Resolution der Generalversammlung ist eine Empfehlung, kein Gesetz. Was sich ändert, ist die Voreinstellung: Wer von nun an Mercator für eine Weltkarte wählt, trifft eine Wahl, statt einer Gewohnheit zu folgen. Die Zahlen auf dieser Seite sind das Gewicht dieser Wahl.