地图投影讲解
地球仪不能在不撕裂或拉伸的情况下摊平。这是定理，不是观点。因此每一张世界地图都是一次决定：保留什么，放弃什么。本页说明三种决定方式，为什么墨卡托把格陵兰画得和非洲一样大，以及 2018 年的 Equal Earth 投影如何在保持面积精确的同时仍然像一张地图。交互版在 KUON EQUAL EARTH。
为什么平面地图必然在某处失真
高斯在 1827 年证明，球面这样的曲面不可能在保持所有距离的前提下映射到平面上。这就是绝妙定理。剥一个橘子，把皮按平：它要么裂开，要么被拉伸。地图投影就是一套拉伸的规则，规则决定了什么能保留下来。
相互竞争的是三样东西。角度，保住它局部形状就正确。面积，保住它区域大小就正确。距离或方向，至少从某一点出发或沿某一条线。没有一种覆盖全球的投影能同时保住三者。大多数保住其一而牺牲其余，或者一样都不精确保留、把失真分摊开。
三种取舍
等角投影保持角度。小范围形状正确，经线与纬线垂直相交，罗盘方位是直线。墨卡托就是最著名的一种。代价是面积：越靠近两极膨胀得越厉害，没有上限。
等积投影保持面积。地图上任意两块区域的面积比与地球上一致。代价是形状：大陆被剪切或压扁，越靠边缘越明显。1772 年的兰伯特圆柱投影、1805 年的摩尔威德、高尔-彼得斯和 Equal Earth 都是等积投影。
折中投影两者都不严格保持，只求看起来顺眼。1963 年的罗宾逊和 1921 年的温克尔第三挂在大多数教室的墙上。它们好看，但不是等积：罗宾逊仍把格陵兰画成真实相对面积的两倍左右。
还有值得一提的第四类：方位投影，从一个中心点出发的方向或距离是正确的。它们是两极的正确工具，这也是 KUON POLAR 使用极方位立体投影而不是墨卡托的原因。
墨卡托为何而生
杰拉杜斯·墨卡托在 1569 年为航海发表了他的世界地图。在这张图上，罗盘方位不变的航线（等角航线）是直线。领航员从港口到港口画一条直线，读出角度，保持航向即可。没有别的投影能做到这一点，四百年来这就是墨卡托存在的理由。
让方位成为直线的数学，正是让面积膨胀的数学。在纬度 φ 处，墨卡托在两个方向上都把距离拉伸 1/cos φ 倍，所以面积放大 1/cos²φ 倍。赤道为 1。30° 为 1.33。45° 为 2。60° 为 4。70° 为 8.5。80° 为 33。两极根本画不出来，所以网络地图在 85.05° 截断，世界成了一个正方形。
落到国家上，效果比多数人想的更大。按实际轮廓积分，墨卡托把日本画成真实相对面积的约 1.6 倍，德国 2.6 倍，英国 2.9 倍，加拿大 5.2 倍，挪威 9.4 倍，格陵兰 16.5 倍。横跨赤道的非洲是 1.1 倍。215 万平方公里的格陵兰看起来与 3000 万平方公里的非洲一样大，就是这么来的。真实比例是 1 比 14。
这些都不意味着墨卡托是错的。它意味着墨卡托是一张航海图。2005 年以来所有网络地图瓦片都用 Web 墨卡托（EPSG:3857），因为等角投影在放大到一座城市时能保持北向上、形状正确，而这正是街道地图的用途。问题只出现在用同一种投影一次展示整个世界、而读者把大小当真的时候。
Equal Earth 之前的等积地图
约翰·海因里希·兰伯特在 1772 年描述了圆柱等积投影。面积精确，形状粗暴：热带被拉高，高纬度被压扁。1805 年卡尔·摩尔威德的椭圆是等积且更圆润的，至今仍用于天区巡天和全球气候图。
詹姆斯·高尔在 1855 年提出了圆柱等积投影的一个变体。1973 年，阿尔诺·彼得斯把本质相同的投影作为对欧洲中心世界地图的纠正推出，它以高尔-彼得斯投影之名进入了政治领域。关于相对大小的论点是对的；地图本身却因大陆被拉长而普遍不受欢迎，1989 年北美七个地理学组织通过决议，敦促出版商彻底停止使用矩形世界地图。
此后三十年，实务上的答案是折中投影。兰德·麦克纳利公司在 1963 年委托阿瑟·H·罗宾逊设计了他的投影；美国国家地理学会从 1988 年起使用它，1998 年改用温克尔第三。它们看起来自然。但都不是等积，「看起来诚实的地图」与「诚实的地图」之间的缝隙一直没有合上。
Equal Earth：公式与它保住的东西
2018 年，Esri 的 Bojan Šavrič、时任美国国家公园管理局的 Tom Patterson 和莫纳什大学的 Bernhard Jenny 在 International Journal of Geographical Information Science（第 33 卷第 3 期，454 至 465 页，doi 10.1080/13658816.2018.1504949）发表了 Equal Earth 投影。他们的目标很明确：具有罗宾逊投影的视觉美感，同时严格等积。他们从 1934 年的 Putniņš P4′ 投影出发，用多项式重塑了轮廓。
这是一种伪圆柱投影：纬线是水平直线，中央经线是直线，其余经线是曲线。取弧度制的经度 λ 和纬度 φ，用 sin θ = (√3 / 2) · sin φ 定义辅助纬度 θ。于是 y = A₁θ + A₂θ³ + A₃θ⁷ + A₄θ⁹，x = (2√3 / 3) · λ · cos θ / (A₁ + 3A₂θ² + 7A₃θ⁶ + 9A₄θ⁸)，其中 A₁ = 1.340264，A₂ = −0.081106，A₃ = 0.000893，A₄ = 0.003796。x 的分母正是 y 对 θ 的导数。全部技巧就在这里：纬线在纵向被挤压的地方，经线就在横向以完全相同的倍数被拉开，因此面积处处得以保持。
反变换没有闭式解。给定 y，用牛顿法解九次多项式求 θ（几步即收敛），再还原 φ 和 λ。实现所需仅此而已，所以 PROJ 在论文发表几个月内就在 5.2 版加入了 +proj=eqearth，GDAL、QGIS、D3、Cartopy 和 ArcGIS 随后跟进。
一些性质由系数直接决定。两极不是点而是线，长度为赤道的 59.2%。整张地图宽度是高度的 2.05 倍。本站每次构建都会用数值方法验证等积这一说法：在 720×720 网格上对全球积分面积比例，得到 12.56638058，对照 4π = 12.56637061，相对差 7.9 × 10⁻⁷，这只是离散化误差，别无其他。你可以在 地图页 点「验证等积」在浏览器里跑同样的积分，也可以对墨卡托跑一次，看它如何不通过。
Equal Earth 放弃的是边缘的形状：高纬度被压缩，外侧大陆倾斜。距离和方位不保持。它是用来看整个世界的地图，不是用来驾船或测地的。
Tissot 变形椭圆：看见失真
尼古拉·奥古斯特·蒂索在 1859 年证明，球面上的一个无穷小圆在任何地图上都会变成椭圆。按固定间隔画出这些椭圆，投影就会自己解释自己。等角地图上它们全是大小不同的圆。等积地图上它们面积相同、形状不同。折中地图上两者都在变。地图页把它们画成半径 2.5 度的圆；切换投影，看看什么变了。
在实务中使用 Equal Earth
为它注册了三个坐标参照系，只在中央经线上不同。EPSG:8857，WGS 84 / Equal Earth Greenwich，以 0° 为中心。EPSG:8858，Equal Earth Americas，以西经 90° 为中心。EPSG:8859，Equal Earth Asia-Pacific，以东经 150° 为中心。单位是米。以太平洋为中心的教科书地图对应中央经线在东经 135° 到 150° 附近，地图页提供了这个预设。
在 QGIS（PROJ 5.2 或更高）中：工程、属性、坐标参照系，在过滤框输入 8857，选择 WGS 84 / Equal Earth Greenwich。矢量与栅格图层即时重投影。要以亚洲为中心，选 8859。
在命令行用 PROJ，定义为 +proj=eqearth +lon_0=0 +datum=WGS84 +units=m。用 GDAL 重投影栅格：gdalwarp -t_srs EPSG:8857 in.tif out.tif；矢量文件：ogr2ogr -t_srs EPSG:8857 out.gpkg in.gpkg。
在 Python 中用 pyproj：Transformer.from_crs("EPSG:4326", "EPSG:8857", always_xy=True).transform(lon, lat)。用 Cartopy：ax = plt.axes(projection=ccrs.EqualEarth())。D3 内置 d3.geoEqualEarth()；本站用自己实现的原始公式接入 d3.geoProjection，所以地图页运行的代码就是上面的公式。
一条适用于所有等积地图的提醒：不要在上面量距离。画在 Equal Earth 上的公里网格除了中央经线之外处处不对。测量与定位工作请用等角的局部系统，例如 UTM，或者在日本用 坐标与高程 中介绍的平面直角坐标系。
什么工作用什么投影
航海图或人们会放大查看的街道地图，用等角投影：墨卡托，瓦片则用 Web 墨卡托。整个世界的专题图、分级统计图、密度图，凡是读者要比较区域大小的，用等积投影，其中读起来像地图的是 Equal Earth。挂图和教科书，用 Equal Earth 或折中投影，并把投影名写在图上。北极和南极，用以极点为中心的方位投影。要测量，用以米为单位的局部等角系统。
诚实的习惯是把投影名印在地图上。知道用了哪条规则的读者可以在心里把它抵消掉。不知道的读者只能任由规则摆布。
2026 年 9 月 4 日的决议
2026 年 9 月 4 日，联合国大会通过决议，建议世界地图以 Equal Earth 投影取代墨卡托。164 个成员国投了赞成票，包括日本。美国投了反对票。6 国弃权。决议由多哥主导，源于非洲联盟支持的 Correct The Map 运动，该运动主张一个世纪的墨卡托教室地图在公众心中缩小了非洲。据路透社报道，美国称该决议带有意识形态色彩，无助于国际和平。
联合国大会的决议是建议，不是法律。它改变的是默认值：从今以后，为世界地图选择墨卡托的出版商是在做出选择，而不是沿袭习惯。本页的数字，就是那个选择的分量。