Projeções cartográficas, explicadas

Um globo não pode ser achatado sem rasgar ou esticar. Isso é um teorema, não uma opinião. Todo mapa-múndi é, portanto, uma decisão sobre o que manter verdadeiro e o que abandonar. Esta página explica as três formas de decidir, por que Mercator faz a Groenlândia do tamanho da África e como a projeção Equal Earth de 2018 mantém a área exata sem deixar de parecer um mapa. A versão interativa está em KUON EQUAL EARTH.

Por que um mapa plano precisa mentir em algum lugar

Carl Friedrich Gauss provou em 1827 que uma superfície curva como a esfera não pode ser representada num plano preservando todas as distâncias. É o Theorema Egregium. Descasque uma laranja e tente achatar a casca: ela rasga ou estica. Uma projeção cartográfica é uma regra de como esticar, e a regra decide o que sobrevive.

Três coisas competem. Ângulos, para que as formas sejam localmente corretas. Áreas, para que o tamanho de uma região seja correto. Distâncias ou direções, ao menos a partir de um ponto ou ao longo de uma linha. Nenhuma projeção da Terra inteira preserva as três. A maioria preserva uma e sacrifica as outras, ou não preserva nenhuma com exatidão e espalha o dano.

Três formas de escolher

Uma projeção conforme preserva ângulos. Formas pequenas ficam corretas, meridianos e paralelos se cruzam em ângulo reto, e um rumo de bússola é uma linha reta. Mercator é a famosa. O preço é a área: cresce sem limite em direção aos polos.

Uma projeção equivalente preserva área. Duas regiões quaisquer do mapa têm a mesma razão de áreas que na Terra. O preço é a forma: continentes são cisalhados ou esmagados, mais em direção às bordas. A cilíndrica de Lambert de 1772, Mollweide de 1805, Gall-Peters e Equal Earth são todas equivalentes.

Uma projeção de compromisso não preserva nenhuma com exatidão e tenta parecer certa. Robinson de 1963 e Winkel Tripel de 1921 estão na maioria das paredes de sala de aula. São agradáveis e não são equivalentes: Robinson ainda desenha a Groenlândia com cerca do dobro do seu tamanho relativo real.

Há um quarto tipo que merece nome: as projeções azimutais, corretas em direção ou distância a partir de um ponto central. São a ferramenta certa para os polos, e é por isso que o KUON POLAR usa uma estereográfica polar em vez de Mercator.

Para que Mercator foi feito

Gerardus Mercator publicou seu mapa-múndi em 1569 para a navegação. Nele, uma linha de rumo constante, uma loxodromia, é reta. O navegador traça uma reta de porto a porto, lê o ângulo e mantém esse rumo. Nenhuma outra projeção faz isso, e durante quatro séculos essa foi a razão de existir de Mercator.

A matemática que endireita os rumos é a mesma que infla as áreas. Na latitude φ, Mercator estica as distâncias por um fator 1/cos φ nas duas direções, então a área cresce 1/cos²φ. No equador o fator é 1. A 30° é 1,33. A 45° é 2. A 60° é 4. A 70° é 8,5. A 80° é 33. Os polos não podem ser desenhados, e é por isso que os mapas web param em 85,05° e o mundo vira um quadrado.

Aplicado a países, o efeito é maior do que a maioria espera. Integrando sobre os contornos reais, Mercator desenha o Japão com cerca de 1,6 vez sua área relativa real, a Alemanha com 2,6, o Reino Unido com 2,9, o Canadá com 5,2, a Noruega com 9,4 e a Groenlândia com 16,5. A África, que cruza o equador, sai em 1,1. É assim que a Groenlândia, com 2,15 milhões de km², parece do tamanho da África, com 30 milhões. A razão real é 1 para 14.

Nada disso torna Mercator errado. Torna-o uma carta náutica. Todo ladrilho de mapa web desde 2005 usa Web Mercator, EPSG:3857, porque uma projeção conforme mantém o norte para cima e as formas corretas quando se amplia uma cidade, que é para o que serve um mapa de ruas. O problema começa apenas quando a mesma projeção é usada para mostrar o mundo inteiro de uma vez e os leitores tomam os tamanhos ao pé da letra.

Mapas equivalentes antes de Equal Earth

Johann Heinrich Lambert descreveu a projeção cilíndrica equivalente em 1772. É exata em área e brutal em forma: os trópicos ficam esticados na vertical, as latitudes altas achatadas. A elipse de Karl Mollweide de 1805 é equivalente e mais redonda, e ainda é usada em levantamentos do céu e mapas climáticos globais.

James Gall propôs uma variante da cilíndrica equivalente em 1855. Em 1973 Arno Peters apresentou essencialmente a mesma projeção como correção do mapa-múndi eurocêntrico, e ela entrou na política como projeção de Gall-Peters. O argumento sobre tamanho relativo era sólido; o mapa em si foi amplamente rejeitado por seus continentes esticados, e em 1989 sete organizações geográficas norte-americanas adotaram uma resolução pedindo às editoras que deixassem de usar mapas-múndi retangulares.

Nas três décadas seguintes a resposta prática foi uma projeção de compromisso. A Rand McNally encomendou a projeção de Arthur H. Robinson em 1963; a National Geographic Society a usou a partir de 1988 e mudou para Winkel Tripel em 1998. Elas parecem naturais. Não são equivalentes, e a lacuna entre um mapa de aparência honesta e um mapa honesto continuou aberta.

Equal Earth: a fórmula e o que ela preserva

Em 2018, Bojan Šavrič, da Esri, Tom Patterson, então do Serviço de Parques Nacionais dos Estados Unidos, e Bernhard Jenny, da Universidade Monash, publicaram a projeção Equal Earth no International Journal of Geographical Information Science (volume 33, número 3, páginas 454 a 465, doi 10.1080/13658816.2018.1504949). O objetivo declarado era uma projeção com o apelo visual de Robinson que fosse estritamente equivalente. Partiram da projeção Putniņš P4′ de 1934 e remodelaram seu contorno com um polinômio.

A projeção é pseudocilíndrica: os paralelos são retas horizontais, o meridiano central é reto e os demais meridianos são curvas. Com a longitude λ e a latitude φ em radianos, define-se uma latitude auxiliar θ por sin θ = (√3 / 2) · sin φ. Então y = A₁θ + A₂θ³ + A₃θ⁷ + A₄θ⁹ e x = (2√3 / 3) · λ · cos θ / (A₁ + 3A₂θ² + 7A₃θ⁶ + 9A₄θ⁸), com A₁ = 1,340264, A₂ = −0,081106, A₃ = 0,000893, A₄ = 0,003796. O denominador de x é a derivada de y em relação a θ. Esse é todo o truque: onde os paralelos são comprimidos na vertical, os meridianos são afastados na horizontal exatamente pelo mesmo fator, e a área é preservada em toda parte.

A inversa não tem forma fechada. Dado y, resolve-se o polinômio de nono grau para θ pelo método de Newton (converge em poucos passos) e recuperam-se φ e λ. É tudo de que uma implementação precisa, e por isso o PROJ acrescentou +proj=eqearth na versão 5.2 poucos meses após a publicação, e GDAL, QGIS, D3, Cartopy e ArcGIS vieram em seguida.

Algumas propriedades decorrem dos coeficientes. Os polos não são pontos mas linhas, com 59,2 por cento do comprimento do equador. O mapa inteiro é 2,05 vezes mais largo do que alto. Verificamos numericamente a equivalência em cada compilação deste site: integrando o fator de área sobre o globo numa grade de 720 por 720 obtém-se 12,56638058 contra 4π = 12,56637061, uma diferença relativa de 7,9 × 10⁻⁷, que é o erro de discretização e nada mais. Pode executar a mesma integral no seu navegador em a página do mapa com o botão Verificar, e executá-la para Mercator para vê-la falhar.

O que Equal Earth abandona é a forma nas bordas: as latitudes altas são comprimidas e os continentes exteriores se inclinam. Distâncias e rumos não são preservados. É um mapa para ver o mundo como um todo, não para governar um navio ou levantar um terreno.

A indicatriz de Tissot: ver a distorção

Nicolas Auguste Tissot mostrou em 1859 que um círculo infinitesimal sobre a esfera se torna uma elipse em qualquer mapa. Desenhe essas elipses em intervalos regulares e a projeção se explica sozinha. Num mapa conforme todas são círculos de tamanhos diferentes. Num equivalente todas têm a mesma área e formas diferentes. Num de compromisso ambas variam. A página do mapa as desenha como círculos de 2,5 graus de raio; troque a projeção e observe o que muda.

Usar Equal Earth na prática

Três sistemas de referência estão registrados para ela, diferindo apenas no meridiano central. EPSG:8857, WGS 84 / Equal Earth Greenwich, centrado em 0°. EPSG:8858, Equal Earth Americas, centrado em 90°O. EPSG:8859, Equal Earth Asia-Pacific, centrado em 150°L. As unidades são metros. O mapa escolar centrado no Pacífico corresponde a um meridiano central perto de 135°L ou 150°L, que a página do mapa oferece como predefinição.

No QGIS (PROJ 5.2 ou posterior): Projeto, Propriedades, SRC, digite 8857 no filtro e escolha WGS 84 / Equal Earth Greenwich. Camadas vetoriais e raster são reprojetadas em tempo real. Para um mapa centrado na Ásia escolha 8859.

Com o PROJ na linha de comando, a definição é +proj=eqearth +lon_0=0 +datum=WGS84 +units=m. Com o GDAL, reprojete um raster com gdalwarp -t_srs EPSG:8857 in.tif out.tif e um arquivo vetorial com ogr2ogr -t_srs EPSG:8857 out.gpkg in.gpkg.

Em Python com pyproj: Transformer.from_crs("EPSG:4326", "EPSG:8857", always_xy=True).transform(lon, lat). Com Cartopy, ax = plt.axes(projection=ccrs.EqualEarth()). No D3, d3.geoEqualEarth() vem incorporada; este site usa sua própria implementação da fórmula ligada ao d3.geoProjection, de modo que o código da página do mapa é a fórmula acima.

Um aviso que vale para todo mapa equivalente: não meça distâncias nele. Uma grade quilométrica desenhada sobre Equal Earth está errada em toda parte exceto ao longo do meridiano central. Para topografia e posicionamento use um sistema local conforme como UTM ou, no Japão, o sistema de coordenadas retangulares planas descrito em coordenadas e altura.

Qual projeção para qual trabalho

Para uma carta náutica ou um mapa de ruas que as pessoas ampliam, uma projeção conforme: Mercator, ou Web Mercator para ladrilhos. Para um mapa temático do mundo inteiro, um coroplético, um mapa de densidade, qualquer coisa em que o leitor compare o tamanho de regiões, uma projeção equivalente, e Equal Earth é a que se lê como mapa. Para um mapa de parede ou um livro didático, Equal Earth ou uma de compromisso, com a escolha escrita no mapa. Para o Ártico e a Antártida, uma azimutal centrada no polo. Para medir, um sistema local conforme em metros.

O hábito honesto é imprimir o nome da projeção no mapa. Um leitor que sabe qual regra foi aplicada pode desfazê-la de cabeça. Um que não sabe fica à mercê da regra.

A resolução de 4 de setembro de 2026

Em 4 de setembro de 2026 a Assembleia Geral das Nações Unidas adotou uma resolução recomendando a projeção Equal Earth para mapas-múndi no lugar de Mercator. 164 Estados-membros votaram a favor, incluindo o Japão. Os Estados Unidos votaram contra. Seis se abstiveram. A resolução foi liderada pelo Togo e nasceu da campanha Correct The Map apoiada pela União Africana, que sustentava que um século de mapas escolares em Mercator havia encolhido a África na mente do público. Segundo a Reuters, os Estados Unidos descreveram a resolução como ideológica e disseram que ela não servia à paz internacional.

Uma resolução da Assembleia Geral é uma recomendação, não uma lei. O que muda é o padrão: de agora em diante, uma editora que escolhe Mercator para um mapa-múndi está fazendo uma escolha, não seguindo um hábito. Os números desta página são o peso dessa escolha.